BAB II STATISTIKA ELEMENTER (Resume) parameter dan statistik

A.    Parameter dan statistik

Parameter adalah sebarang nilai yang menjelaskan ciri populasi. parameter sering dilambangkan dengan huruf yunani secara tradisi nilai tengah hitung populasi dilambangkan dengan µ. Jadi untuk populasi kesalahan ketik kita,µ = 1.5 . Statistik adalah sebarang nilai yang menjelaskan ciri suatu contoh disebut statik. Statik biasanya dinyatakan dalam huruf kecil biasa . Bila statik itu berupa nilai tengah contoh kita akan melambangkan nya  

Dalam inferensia statik yang akan kita pelajari, akan digunakan nilai suatu statistik sebagai penduga parameter populasi padananya. Ukuran populasi di asumsikan sangat besar atau tak hingga. Untuk mengetahui sebarapa akurat satistik menduga parameternya. Kita pertama tama, harus menyelidiki sebaeran nilai nilai statistik itu yang diperoleh dari sebanyak contoh yang di ambil berulang ulang.

B.     Ukuran pemusatan

Untuk menyelidiki sekelompok data kuantitatif akan lebih mudah bila kita mendefisikan ukuran ukuran numerik yang menjelaskan ciri ciri data yang penting . Salah satu cara yang dapat ditempuh adalah penggunaan rata rata, baik terhadap contoh maupun populasi.

Rata rata merupakan suatu ukuran pusat data itu di urutkan dari yang terkecil sampai yang terbesar atau sebaliknya.misalnya bila sebuah mobil menempuh rata-rata 14.5km/liter bensin, maka nilai ini dapat dipandang sebagai sebuah nilai yang menunjukkan pusat dari beberapa nilai lainnya. Diluar kota, satu liter bensin dapat menghasilkan kilo meter lebih banyak dari pada di kota besar dengan lalu lintas yang padat. Dalam pengertian demikian, bilangan 14,5 merupakan sebuah ukuran pusat.

Sembaranga ukuran yang menunjukkan pusat segugus data, yang telah diurutkan dari yang terkecil sampai yang terbesar atau sebaliknya dari tebesar samapi terkecil disebut ukuran  lokasi pusat atau ukuran pemusatan. Ukuran pemusatan yang sering akli dipakai adalh nilai tengah, median dan modus.

Defenisi nilaitengah populasi. Bila segugus data X_1,X_2,...............X_N, tidak harus semuanya berbeda, menyususn sebuah populasi terhingga berukuran N. Maka nilaitengah populasinya adalah

Contoh: banyaknya pegawai di lima apotik adalah 3,5,6,4, dan 6. Dengan memandang data itu sebagai populasi, hitunglah nilai tengah banyaknya pegawai bagi lima apotik itu.

Jawab: karena datanya merupakan sebuah populasi terhingga, maka

Definisi nilaitengah contoh. Misalkan X_1,X_2,.................X_n, tidak harus semuanya berbeda, merupakan sebuah contoh terhingga berukuran n, maka nilaitengah contohnya adalah

Contoh : seorang petugas memeriksa suatu contoh acak tujuh kaleng ikan Tuna merk tertentu untuk diperiksa persentase ketidakmurniannya. Data yang diperoleh adalah 1.8, 2.1, 1.7, 1.6, 0.9, 2.7, dan 1.8. hitunglah  nilaitengah contohnya.

Jawab : karena data ini merupakan contoh maka.

µ =  = 4.8

nilai tengah contoh . misalkan  , ,… , tidak harus semuanya berbeda. merupakan sebuah contoh terhingga  berukuran n, maka nilai tengah contohnya adalah

 x =

contoh : seorang petugas memeriksa suatu contoh acak tujuh kaleng ikan tuna merk tertentu untuk diperiksa persentase ketidak murniannya. Data yang diperoleh adalah : 1.8,  2.1, 1.7, 1.6,  0.9, 2.7, dan 1.8 . hitunglah nilai tengah contohnya.

jawab : karena data ini merupakan contoh,kita peroleh

x =  = 1. 8

sering kali kita dapat menyederhanakan perhitungan nilai tengah dengah teknik yang disebut pengkodean. Misalnya, kadang kadang kita dapat memudahkan pekerjaan dengan menambahkan atau mengurangkan suatu konstanta pada semua nilai pengamatan, dan baru kemudian menghitung nilai tengahnya. Bagaimana hubungan nilai tengah yang baru ini dengan nilai tengah pengamatan asalnya? jika kita misalkan  =  + a , maka

ȳ =  = = x a

median adalah segugus data yang telah di urutkan dri yang terkecil sampai terbesar atau terbesar sampai terkecil adalah pengamatan yan tepat ditenga tengah bila banyak pengamatan itu ganjil, atau rata rata kedua pengamatan yang ditengah bila banyaknya pengamatan genap.

contoh: dari lima kali kuis sosiologi seseorang mahasiswa memperoleh    nilai 82,93,86,92, dan 79. tentukan media populasi nilai ini.

jawab :  setelah menyusun dari yang terkecil sampai yang terbesar ,kita    memperoleh 79    82     86    92    93. Oleh karena itu µ = 86

modus adalah segugus pengamatan adalah nilai yang terjadi paling sering atau yang mempunyai frekuensi paling tinggi. Modus tidak selalu ada.hal ini terjadi bila semua pengamatan mempunyai frekuensi terjadi yang sama . Untuk data tertentu, mungkin saja terdapat beberapa nilai tengah frekuensi tertinggi dan dalam hal ini demikian kita mempunyai lebih dari satu modus.

contoh :

iation tercatat sebagai berikut : 9 . 10 . 5 . 9 . 9 . 7 . 8 . 6 . 10 . dan 11  modusnya yaitu nilai yang terjadi denga frekuensi paling tinggi adalah 9 dolar

C.     UKURAN KERAGAMAN

1.       Wilayah

Wilayah sekumpulan data  adalah beda antara pengamatan terbesar dan terkecil dalam sekumpulan tersebut

                   contoh :

nilai IQ lima anggota sebuah keluarga adalah 108 , 112 , 127 , 118 , dan 113 tentukan wilayahnya

jawab :  wilayah kelima IQ tersebut adalah 127 – 108 = 19

ragam yang mana memperhatikan posisi relatif setiap pengamatan terhadap nilai tengah gugs data tersebut.ini dapat memperhatikan posisi relatif setiap pengamatan terhadap nilai tengah gugus data tersebut.Ini dapat dicapai dengan memeriksa simpangan dari nilai tengahnya.simpangan sebuah pengamatan dari nilai tengahnya diperoleh dengan mengurangkan pengamatan tersebut dengan nilai tengah. Untuk populasi terhingga  - µ,  - µ,...,    - µ

begitu pula , bila data kita berupacontoh acak  - x,  - x,...  – x.

Ragam populasi : ragam populasi terhingga ,...  didefinisikan sebagai

=          

Contoh :

Nilai nilai  berikut diberikan oleh enam juri dalam suatu pertandingan senam.  7, 5 , 9 , 7 , 8 , dan 6 . Hitung simpangan baku bagi populasi ini.

Jawab : pertama tama kita hitung :

µ =  = 7 dan kemudian

=

                   =  =

Dengan demikian simpangan bakunya adalah  =   = 1.29

Ragam  suatu contoh dilambangkan dengan s²   merupakan suatu statistik. Ragam contoh  ragam contoh untuk semua contoh acak x₁ , x₂ ,...  , x_n didefinisikan sebagai:

s² =

Contoh:

Perbandingan harga kopi dalam bungkus 200 gram di empat toko kelontong yang dipilih secara acak si  san di ego menunjukan kenaikn daru harga bulan sebelumnya sebesar 12 , 15 , 17 , dan 20 sen .Hitunglaheaam contoh kenaikan harga kpi ini :

Jawab: nilai tengah contoh kita peroleh dari perhitungan

X =  = 16 sen

Dengan demikian

S^{2 =}

                  =  

                  =

                  =

Rumus hitung bagi s² . bila s² adalah ragam suatucontoh acak berukuran n, maka

S² =

Contoh :

Sebuah contoh acak yang terdiri atas lima direktur bank menunjukan gaji tahunan sebesar .hitung ragam data ini dengan mengkodekan datanya lebih dulu.

Jawab: bila semua gaji itu kitabagi dengan  1000 dan hasilnyadikurangi 50, maka kita memperoleh bilangan bilangan baru 13, - 2, 12 , - 5 , dan – 9. Untuk data ini

 = -1 dan   = 623.

Sekarang , untuk data yang telah di kodekan tersebut

S² =  = 155.7

Dan setelah digandakan dengan 1000² kitamemperoleh ragam data semula yaitu s² = 1.557 x 10⁸

A.    DALIL CHEBYSHEV

Dalil chebyshev : sekurang kurangnya 1 – 1 /k² bagian data terletak dalam k simpangan baku dari nilai tengahnya

Contoh :

Misalkan data IQ suatu contoh acak 1080 mahasiswa suatu universitas yang besar mempunyai nilai tengah 120 dan simpangan baku 8. Gunakan dalil chebyshev  untuk menentukan selang yang mengandung sekurang kurangya 810 IQ yangada dalam contoh tersebut.dari selang ini tarik lah kesimpulan mengenai IQ semua mahasisw di univrsitas tersebut . Tentukan wilayah yang kita yakin tidak lebih dari 120 IQ yang berada didalamnya.

Jawab . dengan memecah persamaan .

I -  = =

Kita memperoleh k = 2 dan

x  2s = 120  = 120 ± 16

jadi selang dari 104 sampai 136 mengandung sekurang kurang nya 3/ 4  atau sekurang kurangnya 810 IQ dalam contoh kitta. Dari hasil ini kita menyimpulkan bahwa sekurang kurangnya 3 / 4 dari semua IQ mahasiswa di universits tersebut terletak dalam  selang 104 sampai 136.jika

I -  =

Maka k= 3dan sekurang kurangnya 8 / 9 atau sekurang kurangnya 960 IQ dalam contoh terletak dalam selang 120 ± ( 3) (8) , atau dari 96 sampai 144. Jadi tidak leboh dari120 jatuh dibawah 96 atau di atas 144

B.     Nilai Z

Definisi nilai Z : suatu pengamatan x dari suatu populasi yang mempunyai nilaitengah  dan simpangan baku , mempunyai nilai z atau skor z yang didefenisikan sebagai

Z=

Nilai z mengukur berapa simpangan baku sebuah pengamatan terletak diatas atau dibawah  nilaitengahnya. Karena  tidak pernah negatif, nilai z yang positif  mengukur berapa simpangan baku letak suatu pe ngamatan di atas nilaitengahnya.